EJERCICIOS RESUELTOS PARA REPASO PLANO Y RECTA EN 3D

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EJERCICIOS PARA REPASO PLANO Y RECTA EN 3 D 1) La distancia del punto P(5,-1,4) al plano W: 3x +4y+z= 21 es : a) -1.1726 unidades b) 1.1726 unidades c) 17.71 unidades d) 16.56 unidades e) Ninguna respuesta es correcta SOLUCIÓN Datos: Punto: 𝑃 0 ( ? ? ,? ? ,? ? ) 𝑃 0 (5, −1,4) Plano: W : ?? + ?? + ?? + ? = 0 𝑁 W ∶ 3? + 4 ? + ? − 21 = 0 𝑆𝑖 ? = 0 ; ? = 0 𝑒????𝑐𝑒? ? = 21 𝑃 0 (5,-1,4) d P 1 ( 0,0,21 ) N ⃗⃗ = 3 î + 4 ĵ + k ̂ ; P 1 P o ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 5 î − j ̂ − 17 k ̂ , P 1 P o ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . N ⃗⃗ = 15 − 4 − 17 = −6 |N ⃗⃗ | = √9 + 16 + 1 = √26 𝒅 = 𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑁 P 1 P o ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = | P 1 P o ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑁 | | 𝑁 | = ? 26 = ?. ????
𝒅 = 𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑁 P 1 P o ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |−6| 26 = ? 26 = ?. ?? 2) La ecuación de la recta que pasa por el Punto P (3,-1,2) y es paralela a la recta: x−1 3 = 3 + 4y = −z−1 3 es: a) x−3 3 = y + 1 = z−2 3 b) x−3 3 = y + 1 = z−2 − 3 c) x −3 12 = y + 1 = z −2 − 12 d) x−3 12 = y−1 −1 = z−2 − 2 e) Ninguna respuesta es correcta Solución 𝐿 ∶ x−1 3 = 3 + 4y = −z−1 3 Reescribiendo: L ∶ x−1 3 = 4(𝑦+ 3 4 ) 1 = z+1 − 3 L ∶ x − 1 3 = 4 (? + 3 4 ) 4 1 4 = z + 1 − 3
L ∶ x − 1 3 = (? + 3 4 ) 1 4 = z + 1 − 3 Vector paralelo a la recta x−1 3 = 3 + 4y = −z−1 3 es: 𝐿 ⃗⃗ = 3 î + 1 4 ĵ − 3 k ̂ Como la recta solicitada es paralela a dicha recta, entonces el vector 𝐋 ⃗⃗⃗ = ? ?̂ + ? ? ?̂ − ? 𝐤 ̂ también es paralelo a la recta buscada. La ecuación de la recta que pasa por el Punto P (3,-1,2) y es paralela a la recta: x−1 3 = 3 + 4y = −z−1 3 es: 𝐿 𝐵𝑢𝑠?𝑎?𝑎 : x−3 3 = y−(−1) 1 4 = z−2 −3 𝐿 𝐵𝑢𝑠?𝑎?𝑎 : x − 3 3 = y + 1 ) 1 4 = z − 2 −3 Multiplicando toda la ecuación por ( 1 4 ) : 𝐿 𝐵𝑢𝑠?𝑎?𝑎 : ( 1 4 ) ( x − 3 3 ) = ( 1 4 ) ( y + 1 1 4 ) = ( 1 4 ) ( z − 2 −3 ) 𝐿 𝐵𝑢𝑠?𝑎?𝑎 : x − 3 12 = y + 1 = z − 2 −12
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